20０2级量子力学期末考试试题和答案Ａ卷一、简答与证明:(共25分）１、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。(4分）２、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分)4、证明)??(22xxpxxpi是厄密算符(5分)5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量xp?之间的测不准关系。（6分)一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式：)(EtrpiAe2、定态:定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:)()()()(2112212211qqqqA。4、)??(22xxpxxpi＝xxxxxxppxpixppixpi?2?],?[],?[?],?[2，因为xp?是厄密算符,所以)??(22xxpxxpi是厄密算符。5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值,令FF?F?，GG?G?,则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系。坐标x和动量xp?之间的测不准关系为:2?xpxB卷一、(共２5分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？(4分)2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?（6分)3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（４分）4、在一维情况下，求宇称算符P?和坐标x的共同本征函数。(6分)5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。３、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211qqqqS4、宇称算符P?和坐标x的对易关系是：PxxP?2],?[，将其代入测不准关系知，只有当0?Px时的状态才可能使P?和x同时具有确定值，由)()(xx知,波函数)(x满足上述要求,所以)(x是算符P?和x的共同本征函数。5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?,k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值，令FF?F?,GG?G?，则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系。时间t和能量E之间的测不准关系为:2Et1.微观粒子具有波粒二象性。2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为：E＝,p=。3.根据波函数的统计解释,的物理意义为：粒子在ｘ—dx范围内的几率。４.量子力学中力学量用厄米算符表示。5.坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为：。6．量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数(ｘ）所描写的状态时,测量某力学量F所得的数值，必定是算符的本征值。７．定态波函数的形式为：。8．一个力学量为守恒量的条件是:不显含时间,且与哈密顿算符对易。9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的＿__＿_________,玻色子体系的波函数是＿对称的__＿__＿__。１0．每个电子具有自旋角动量,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为:。
