1§14—5简谐运动的能量EnergyofSimpleHarmonicVibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量1.能量表达式(1)推导以弹性振子为例/假设在x=AcosQot+^)t时刻质点的位移为x,速度为v,则v=-A®sinCot+申)则系统动能为：E=—mv2=—mA2®2sin2Cot+申k22系统势能为：E=—kx2=—kA2cos2C°t+申)p22因而系统的总能量为E=E+E=—mA2®2sin2kp2k考虑到®2=,则m厂1人1「E=—mA2®2=kA222(2)结论弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。(3)解释由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。(4)说明1)E*A2，对任何简谐运动皆成立；2)动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。动能Ek=E-Ep2.能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。+申h2kA2COS2+申）16*nS討Zcft-?-乎*和、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f(t),在时间T内的平均值定义为第12讲机械振动简谐运动的应用23第12讲机械振动简谐运动的应用4第讲机械振动简谐运动的应用5定端的距离S成正弹簧的动能与物体的动能分别f1my(S)J——2lLi1=—mv260E=—Mv2k22系统的势能为E=—kx2P2根据机械能守恒定律，有mv2+Mv2+kx2=const6221一1(丄丄—M+—mv2+—kx2=const2第12讲机械振动简谐运动的应用3丿将上式对时间求导，整理后可得(1)dv丄M+—m—+kx=0I3丿6ddx=AcosQot+^)代入守恒方程可得A=A'例2.劲度系数为k、原长为1、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设m
