1§7向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例,)1．问题导航(1)已知直线l的方向向量(M，N)或法向量(A，B)，如何设l的方程？(2)向量可以解决哪些常见的几何问题？(3)向量可以解决哪些物理问题？2．例题导读P102例1.通过本例学习，学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离．试一试：教材P102练习T1，T2，T3你会吗？P102例2.通过本例学习，学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤．试一试：教材P104习题2－7B组T1你会吗？P103例3，例4.通过此两例学习，学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题．试一试：教材P104习题2－7A组T3，B组T2你会吗？1．直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．(3)与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝n|n|＝AA2＋B2，BA2＋B2．2．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2．3．用向量解决平面几何中的问题(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、平行向量定理．(2)证明线段垂直，可以用向量数量积运算．(3)利用向量数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．4．用向量解决解析几何中的问题解析几何是在平面直角坐标系内研究图形的性质，这类问题大多适用于向量的坐标运算，建立适当的平面直角坐标系，设出向量的坐标，将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算．5．向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量数量积的物理背景是力所做的功，因此，利用向量可以解决一些物理问题．用向量法解决物理问题时，要作出相应的几何图形，以帮助我们建立数学模型．向量在2物理中的应用，如求力的合成与分解，力做功等，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB→·AC→＝0.()(3)若向量AB→∥CD→，则AB∥CD.()解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．(2)错误．因为△ABC为直角三角形，角A并不一定是直角，有可能是角B或角C为直角．(3)错误．向量AB→∥CD→时，直线AB∥CD或AB，CD重合．答案：(1)√(2)×(3)×2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：选A.AB→＝(3，3)，CD→＝(－2，－2)，所以AB→＝－32CD→，AB→与CD→共线，但|AB→|≠|CD→|，故此四边形为梯形．3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为________N.解析：根据题意，当F1，F2夹角为90°时，|F1|2＋|F2|2＝202，因为|F1|＝|F2|，所以|F1|＝|F2|＝102，则当F1，F2夹角为120°时，它们的合力大小为|AC→|＝102.答案：1024．在△ABC中，若C＝90°，AC＝BC＝4，则BA→·BC→＝________.解析：因为C＝90°，AC＝BC＝4，所以△ABC为等腰直角三角形，所以BA＝42，∠ABC＝45°，所以BA→·BC→＝16.答案：161．对直线l：Ax＋By＋C＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P1P2→＝(x2－x1，y2－y1)及其共线的向量λP1P2→均为直线的方向向量．显然当x1≠x2时，向量1，y2－y1x2－x1与P1P2→共线，因此向量1，－AB＝1B(B，－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A)为直线l的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量．32．向量法在几何证明与计算中的几个主要应用(1)A、B、C三点共线的证法只需证AB→＝λBC→或AB→＝(x1，y1)，BC→＝(x2，y2)满足x1y2－x2y1＝0.(2)证明AB⊥AC的方法只需证AB→·AC→＝0.(3)求A、B两点间距离的方法可把AB→表示成λa＋μb或者求坐标(x，y)，然后利用向量的运算求解．(4)求∠AOB的方法利用数量积定...
