第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.答案：－2．若sinθcosθ＝，则tanθ＋的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．(2019·盐城期中)已知tan(π－α)＝，α是第四象限角，则sinα＝________.解析：因为tan(π－α)＝，所以tanα＝－，因为sin2α＋cos2α＝1，α是第四象限角，所以sinα＝－.答案：－2．化简：＝________.解析：原式＝＝|sin2－cos2|，因为sin2＞0，cos2＜0，所以原式＝sin2－cos2.答案：sin2－cos2[题组练透]1．(2019·启东调研)sin·cos·tan的值是________．解析：原式＝sin·cos·tan＝－sin··＝－××(－)＝－.答案：－2．(2018·镇江中学测试)求值：sin＋cos＝________.解析：sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos＝.答案：3．已知tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________.解析：因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.答案：[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例引领]1．(2019·昆山一模)已知α∈，tanα＝3，则sin2α＋2sinαcosα＝________.解析： α∈，tanα＝3，∴sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝.答案：2．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m＝________.解析：由题意得sinθ＋cosθ＝－，sinθ·cosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，所以＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－.答案：1－[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[即时应用]1．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα＝________.解析：法一：因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝＝－.答案：－2．(2019·苏州调研)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ的值为________．解析： sinθ＋cosθ＝，①两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝－，又θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0， (sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝，②由①②得sinθ＝，cosθ＝－.∴tanθ＝－.答案：－[锁定考向]同角三角函数关系与诱导公式一般不单独考查，常相结合命题，主要考查三角函数值的计算．常见的命题角度有：(1)由同角关系求值；(2)由角的三角函数值求值；(3)由角的关系式求值．[题点全练]角度一：由同角关系求值1．(2018·玄武高中检测)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________.解析：由已知得sinα＝－.因为α是第三象限角，所以cosα＝－＝－.所以原式＝＝＝.答案：角度二：由角的三角函数值求值2．(2018·启东调研)如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第...
