（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 微专题三 高考真题的再研究教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

微专题三高考真题的再研究[真题研究]普通高中数学课程标准要求：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力．考试大纲指出：高考对能力的考查，强调“以能力立意”.2018年全国Ⅰ卷第16题就是一个典型例子．本文从不同角度，开拓思路，分析解答，充分挖掘高考题的教学指导功能，再现命题的能力立意，以期提高教学实效性．一、试题呈现题目(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．二、分析解答分析1此题中的函数是将正弦函数两次变换相加而得，第一次纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变；第二次横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．这个加号有份量，依靠常规的三角运算和方法作答有困难．因此，首先考虑“万能”的导数，找到极值点，求出全部极值，最后取最小的极值作最小值．方法一f′(x)＝2cosx＋2cos2x，由f′(x)＝0得，2cos2x＋cosx－1＝0，解得cosx＝或cosx＝－1.所以sinx＝或sinx＝－或sinx＝0.当sinx＝，cosx＝时，f(x)＝；当sinx＝－，cosx＝时，f(x)＝－；当sinx＝0，cosx＝－1时，f(x)＝0.由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得f(x)min＝－.分析2从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2π.用函数在[0,2π]内的最小值作为函数的最小值．整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值．方法二由y＝2sinx的最小正周期为2π，y＝sin2x的最小正周期为π，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2π.下面在(0,2π)内研究本函数：当x∈时，y＝2sinx>0，y＝sin2x>0；当x∈时，y＝2sinx>0，y＝sin2x<0；当x∈时，y＝2sinx<0，y＝sin2x>0；当x∈时，y＝2sinx<0，y＝sin2x<0.因此，f(x)的最小值出现在之内，此时f(x)＝2sinx(1＋cosx)，进而f(x)＝－2(1＋cosx)＝－2＝－2，1令t＝cosx，x∈，g(x)＝－t4－2t3＋2t＋1，t∈[0,1]．利用导数可以证明，g(x)≤g＝.所以f(x)≥－2＝－.因此，f(x)min＝－.分析3本题基本背景是三角函数，那么对于角的处理极为重要．本题中可以考虑用同角三角函数的平方关系、二倍角、扩角降幂等知识处理函数，从方法二可以发现最后的函数形式还是稍微有些复杂．我们可以再做角的文章，以期简化函数，方便解答．方法三结合方法二，f(x)的最小值出现在之内．此时，f(x)＝2sinx(1＋cosx)＝4sin·cos·2cos2＝8sincos3＝8·cos3＝－8.令t＝，则t∈.h(t)＝t6－t8，t∈.利用导数可以证明，h(t)≤h＝.所以f(x)≥－8＝－.因此，f(x)min＝－.评注从以上方法探究可以发现，本题以三角函数为背景，应用导数，综合考查了三角函数和导数的知识和技能，对学生的能力要求还是较高的，若死盯着三角函数，仅依靠三角函数的知识、方法，甚至是技巧都是无济于事的．这正是本题命题意图，希望有扎实的功底，严谨的推理，缜密的思维等能力．对于靠刷题应对高考而言，此题显得举步维艰．本题若变形成：“已知函数f(x)＝2sinxsin2x，则f(x)的最小值是________．”就会感觉舒坦多了．但是，能力就体现在创新之中．分析4一道好的高考试题，往往入口宽敞，通道较多．从方法三知f(x)＝8sincos3，本函数显然是奇函数，由最大值可得到最小值．在函数两边平方后，利用基本不等式求解也是一种行之有效的办法．方法四由方法三得f(x)＝8sincos3.两边平方得f2(x)＝64sin2cos6＝·3sin2·cos2·cos2·cos2≤×4＝×4＝.所以f(x)≤.因此，f(x)max＝.易判定本函数为奇函数，所以f(x)min＝－.评注这种做法看起来很简单，但是它有三个关键点：一是能否联想到同角三角函数平方关系后在函数两边平方；二是多项均值不等式是否深刻理解并能应用；三是能否恰当应用奇函数的对称性．这三点对学生还是有较高的能力要求，很难顺利推进．本方法也得到了2函数值域y∈.3