（江苏专版）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 函数与导数的综合问题教案 文（含解析）苏教版-苏教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第四节函数与导数的综合问题[锁定考向]用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型之一．常见的命题角度有：(1)求函数零点或零点个数；(2)已知函数零点个数求参数的值或范围．[题点全练]角度一：求函数零点或零点个数1．已知函数f(x)＝ax＋lnx＋1，讨论函数f(x)零点的个数．解：法一：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax＋lnx＋1＝0，得lnx＝－ax－1，令u(x)＝lnx，v(x)＝－ax－1，则函数v(x)的图象是过定点(0，－1)，斜率k＝－a的直线．当直线y＝kx－1与函数u(x)＝lnx的图象相切时，两者只有一个交点，此时设切点为P(x0，y0)，则解得所以当k＞1时，函数f(x)没有零点；当k＝1或k≤0时，函数f(x)有1个零点；当0＜k＜1时，函数f(x)有2个零点．即当a＜－1时，函数f(x)没有零点；当a＝－1或a≥0时，函数f(x)有1个零点；当－1＜a＜0时，函数f(x)有2个零点．法二：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax＋lnx＋1＝0，得a＝－.令g(x)＝－(x＞0)，则g′(x)＝.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(1)＝－1，由于g＝0，x→＋∞时，g(x)→0，所以当0＜x＜时，g(x)＞0，当x＞时，g(x)＜0.所以当a＜－1时，函数f(x)没有零点；当a＝－1或a≥0时，函数f(x)有1个零点；当－1＜a＜0时，函数f(x)有2个零点．角度二：已知函数零点个数求参数的值或范围2．(2019·徐州调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)，若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．解：令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－.令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x＜1时，g′(x)＜0；当1＜x≤3时，g′(x)＞0，∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1， 函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln3＋，g(3)＝3－，3ln3＋＞3－，∴实数a的取值范围是.[通法在握]函数的零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数．(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题．[演练冲关]1．设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．解：由题设，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点．所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m＞时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．2．已知函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，求实数a的取值范围．解： f(x)＝aex－x－2a，∴f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋lna－2a.令g(a)＝1＋lna－2a(a＞0)，则g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，∴g(a)max＝g＝－ln2＜0，∴f(x)的最小值f＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)．[典例引领]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.解：(1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为f′(x)＝＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)证明：当a＝－2时...