PACBMN二面角的一题多解重庆市开县临江中学校柳琼例题：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=，点P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，PA=AC，求二面角B―PC―A的平面角。分析1：根据平面角定义找出二面角的平面角。此题解法困难在于求△AMN中三边长。解：PA=AC=2，BC=AB=，PC=2，PB=∴∴过A作AM⊥PC交PC于M，在平面PBC中过点M作MN⊥PC交PB于N，连接AN。∴∠AMN是二面角B—PC—A的平面角Rt△PAC中，……①∽∴∴……②∴Rt△PMN中，Rt△PAB中，∴△PNA中，…③∴△AMN中，∴分析二：利用三垂线定理找出二面角的平面角解：过B作BO⊥AC交AC于O点，过O作OK⊥PC于K，连接BK∵⇒⇒OB⊥平面PAC，OK是BK在平面PAC中射影∵PC⊥KO∴PC⊥KBRt△ABC中，,Rt△PBC中，利用等面积法求出BK∴∴Rt△KOB中，用心爱心专心CBAPKO⇒∠BKO是所求的角∴（说明：类似解法还有一种，过A作AN⊥PB交PB于N，过A作AM⊥PC交PC于M，连接MN，同理可证∠AMN是所求的角，找角的位置与解1相同，但解题过程要简约得多。）分析三：根据射影定理，令二面角的平角角为，则，解：过B作BO⊥AC，连接OP,如解（2）中证明：BO⊥平面PAC∴△POC是△PBC在平面PAC中的射影,,Rt△PBC中，令二面角B—PC—A平面角，∴∴（说明：此解法是所有解法中最简单的）分析四：利用结论解：过A作AM⊥PC过B作BN⊥PC∴AM与BN所成的角与二面B—PC—A的平面角相等.Rt△PAC中，AM=PM==m,Rt△PBC中，利用等面积法，∴∴，∴,∴用心爱心专心CBAPOCBAPNM分析五：利用空间向量知识求解解：以点B为坐标原点，所在直线为X轴,所在直线为y轴，过B作⊥平面ABC，所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系。令平面PBC，,∴如解2：BO⊥平面PAC∴平面PAC的法向量为∴∴二面角B—PC—A的平面角观察是锐角，∴平面角是。（说明：此解法思路就是利用二面角棱的垂面，即二面角的两个平面的两条垂线所成的角与二面角的平面角相等或互补。）重庆市开县临江中学校柳琼405406电话号码：15923443205Email:liuqiong1214@sohu.com用心爱心专心CBAPXYZZ
