第十章极限导数知识结构网络极限的四则运算法则数列的极限极限函数的极限求函数的最大、小值判断函数的极在、小值判断函数的单调性复合函数的求导法则导数的四则运算法则简单函数的求导公式导函数无穷等比数列的和导数的实际意义与几何意义函数的导数函数的连续性11．1数列极限一、明确复习目标1．理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则;2．会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根;3．会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和．二．建构知识网络1．数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限．注：a不一定是｛an｝中的项．2．几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）．④无穷等比数列{an},当公比的绝对值|q|<1时,前n项和的极限．称之为“各项和”或“所有项的和”．3．数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an·bn）=a·b;=（b≠0）．说明:极限的四则运算法则,只适合于有限次的四则运算．对于数列前n项和的极限,必须先求和(式),再取极限．三、双基题目练练手1．下列极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④C=C（C为常数）A．2B．3C．4D．都不正确2．(2006陕西)\s\do4(n→∞)等于()A．1B．C．D．03．已知a、b、c是实常数，且=2,=3,则的值是A．2B．3C．D．64．（2006重庆）。5．将无限循环小数化为分数是_________6．=_____简答:1-3．BBD；3．由=2,得a=2b．由=3,得b=3c,∴c=b．∴=6．∴===6．4．．分子先求和,再求极限．5．=0．12+0．0012+…=0．12/(1─0．01)=4/33．6．－1四、经典例题做一做【例1】求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）．分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限．解:（1）==．（2）（－n）===．（3）原式===（1+）=1．◆特别提示::对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,② （2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限．对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误．【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1．∴Sn＝（2）＝．①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝．评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用．【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求．分析:要求的值，必须先求它与n的关系．解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=．又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=．设点C（x1,y1）,D（x2,y2），由nx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=,x1·x2=1． （x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=（4n+1）（n2+1）．∴===2．评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法．【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3时,求c的取值范围．解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立．∴===c．又a1·a2=a2=c．∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列．其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立．∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）=+≤...
