第一节函数及其表示1．函数的概念(1)定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2019·无锡一中期中测试)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为________．解析：由题意知，x2－x＞0，即x＜0或x＞1.则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．已知f()＝x－1，则f(2)＝________.解析：令＝2，则x＝4，所以f(2)＝3.答案：33．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f(x)＝则f()＋f(－)＝________.答案：54．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.解析：依题意得当x≤1时，3x＝2，所以x＝log32；当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log321．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2019·常州一中检测)若函数f(x)＝则f＝________.1解析：因为＞1，所以f＝log2，又因为log2＜1，所以f＝2－2＝－.答案：－2．(2018·苏州中学测试)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，所以②×5－①×3得f(x)＝x－＋(x≠0)．答案：f(x)＝x－＋(x≠0)[题组练透]1．(2018·常州期末)函数y＝＋lg(x＋2)的定义域为________．解析：由题意可得解得－2＜x≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．答案：(－2,1]2．(2018·南通中学高三测试)函数y＝的定义域为________________．解析：由函数y＝得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以所求函数的定义域为∪.答案：∪3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝的定义域是________．解析：令t＝x＋1，由已知函数的定义域为[1,2019]，可知1≤t≤2019.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2019，解得0≤x≤2018，故函数f(x＋1)的定义域为[0，2018]．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x＜1或1＜x≤2018.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2018]．答案：[0,1)∪(1,2018]4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数f(x)＝的定义域是________．解析：由题意得log(2x－3)≥0⇒0＜2x－3≤1⇒＜x≤2，即函数f(x)的定义域是.答案：[谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2[典例引领](1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(3)已知f＝lgx，求f(x)的解析式；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．解：(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈R.(2)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解...
