§4.5简单的三角恒等变换最新考纲1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝(T(α－β))tan(α＋β)＝(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)对任意角α都有1＋sinα＝2.(√)1(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)题组二教材改编2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于()A．－B.C．－D.答案C解析 α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.4．tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝.答案解析 tan60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝－tan10°tan50°，∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝.题组三易错自纠5.＝________.答案解析原式＝＝＝＝sin30°＝.6．化简：＝________.答案解析原式＝＝＝＝.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝.答案－解析方法一sin＝，得sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，2∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.方法二 θ∈且sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，∴tanθ＝.故tan2θ＝＝－.8．化简：＝________.答案4sinα解析＝＝＝4sinα.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为()A．－B．－C.D.答案A解析因为sin(π－α)＝sinα＝，≤α≤π，所以cosα＝－＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为()A.B.C.D．1答案D解析 tan＝，tan＝，∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝1.3．(2018·青岛调研)已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为()A．－B.C.D．－答案A解析 α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，又tanβ＝－，∴tan(α－β)＝3＝＝－.4．计算的值为．答案解析＝＝＝＝.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.答案解析依题意得sinα＝＝，因为sin(α＋β)＝α，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为()A.B.C．－D．－答案B解析因为α为锐角，且cos＝，所以sin＝＝，所以sin＝sin2＝2sincos＝2××＝，故选B.命题点2三角函数式的变换例2(1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°.解(1)...
