第一节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3[小题体验]1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．解析：设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为πR3＝.答案：π2．(2018·南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.解析：设正方形的边长为acm，则πa2·a＝27π，得a＝3，所以侧面积2π×3×3＝18πcm2.答案：18π3．(2018·海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36cm3，高为4cm，则底面边长为________cm.解析：设正三棱锥的底面边长为acm，则其面积为S＝a2，由题意知×a2×4＝36，解得a＝6.答案：61．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．易混侧面积与表面积的概念．[小题纠偏]11．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶31∶12．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长为3cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm2.解析：正四棱柱的高为＝6cm，所以侧面积是4×3×6＝72cm2.答案：72[题组练透]1．棱长为2的正四面体的表面积是________．解析：每个面的面积为：×2×2×＝.所以正四面体的表面积为4.答案：42．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××22×h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S侧＝6××2×2＝12.答案：123．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________．解析：由题意得几何体如图所示，几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.答案：(5＋)π[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．[典例引领]1．(2018·苏州高三暑假测试)如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB的长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为________cm3.2解析：记正四棱锥PABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连结PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8cm2，所以8＝4××2×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VPABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4cm3.答案：42．(2019·高邮模拟)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．解析：因为S△ABA1＝×3×3＝，点P到平面ABA1的距离h为△ABC的高，所以三棱锥PABA1的体积V＝S△ABA1h＝.答案：[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解[即时应用]1．现有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________．解析：因为圆锥底面半径为3，母线长为5，...
