第六节直线与圆锥曲线突破点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，则(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．()答案：(1)√(2)×(3)×二、填空题1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．答案：[－1,1]2．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，弦AB的长为________．答案：3．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．答案：[典例](1)(2019·河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条1C．3条D．4条[解析](1)因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.选A.(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条，分别为直线x＝0，直线y＝1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.[答案](1)A(2)C[方法技巧]直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[提醒]联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．[针对训练]1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：选B 直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k＞－B．k＜C．k＞或k＜－D．－＜k＜解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.突破点二圆锥曲线中弦长及中点弦问题圆锥曲线的弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.()(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()答案：(1)√(2)√二、填空题1．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛2物线方程为________．答案：y2＝12x或y2＝－4x2．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．答案：3．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．答案：，考法一弦长问题[例1](2019·孝义模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于...
