§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)；(2)f(x＋a)＝(a≠0)；(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|(2)T＝2|a|(3)T＝|a－b|题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.答案1解析f＝f＝－4×2＋2＝1.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－B.C.D．－答案B解析 f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.答案3解析 f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝解(1)由得x2＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝＋＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．f(x)＝x＋sin2xB．f(x)＝x2－cosxC．f(x)＝3x－D．f(x)＝x2＋tanx答案D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)...
