第一节数列的概念与简单表示突破点一数列的通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．4．Sn与an的关系已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.答案：－2．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．解析：困为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.答案：93．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．解析：an＝＝＝－， －3＝－，∴－3是该数列的第9项．答案：94．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是____________．答案：an＝1考法一利用an与Sn的关系求通项数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1](1)(2019·化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝____________.[解析](1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝(2) an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.又a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n(n∈N*)．[答案](1)an＝(2)n[方法技巧]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．考法二利用递推关系求通项[例2](1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．[解](1)因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，所以an＝n2＋.(2)因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.2(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an...
