第二章第六节反函数教案教学目的：理解反函数意义，并会求一些函数的反函数．掌握互为反函数的函数图象间的关系及其简单应用．教学重点：反函数的定义，反函数与原函数的图象之间的关系和求简单的反函数．教学难点：运用反函数的定义、图形进行解题。教学方法：讲练结合。学法指导：注意体会例题中所讲的方法，在练习中掌握方法。媒体设计：Powerpoint幻灯片教学过程：一、知识点复习：1、反函数的概念；2、求反函数的步骤：1)将看成方程，解出；2)将x、y互换，得；3)写出反函数的定义域（即原函数的值域）。3、反函数的性质：1)原函数的定义域与值域分别是其反函数的值域与定义域；2)互为反函数的两个函数（与）的图象关于直线y=x对称；但两个图形的交点末必就在直线y=x上；3)若函数为奇函数，则反函数也为奇函数，反之亦然；4)函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性；4、注意：，，（其中A为定义域，B为值域）理解掌握这些性质，对提高解题速度有很大的帮助。二、例题分析：（一）基础知识扫描1．(1998年高考题)函数(x≠0)的反函数=()A．x(x≠0)B．(x≠0)C．－x(x≠0)D．(x≠0)2．设函数，(x∈[1，+∞))，则的定义域是()A．(0，1)B．[1，+∞)C．[3，+∞)D．R3．函数(x≤1)的反函数是()A.(11)C.(x>1)D.(x>-1)4．设函数(-1≤x≤0)，则函数的图象是()5．已知函数(x∈)，则它的反函数为．6．若函数，则＝（二）题型分析：题型1：反函数的意义及求法．例1求下列函数的反函数：(1)(x<1)；(2)(x≥1)；(3)。分析首先确定反函数的定义域，即原函数的值域，由解出x时，遇到开方运算，要注意正负号的取舍．此类问题，实际上只要做两件事：①解一个方程；②求一个函数的值域．分段函数的反函数可以分别求出各段的反函数后再合成．题型2：互为反函数的两函数图象之间的关系．例2：1)已知函数的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，则a=，b=．(2)已知，则＝。分析理解反函数的概念，不必求出反函数，利用对称性，，可避开求反函数的复杂运算，即(a，b)在原函数图象上，(b，a)就在反函数图象上．简单而又巧妙．例3(2001·全国高考)给定实数a，a>0且a≠1，设函数(x∈R，且)．证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．分析要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，只须证明这个函数的反函数是它本身，也可以按照轴对称图形的定义证明．题型3：反函数的应用．例4(2002年潍坊市统考题)设a>0且a≠1，(x≥1)．(1)求函数的反函数和其定义域；(3)若(n∈N*)，求a的取值范围．分析求函数的反函数的步骤中，由中解出是关键，求解中注意简化运算．（说明：本题(1)中求反函数解出x时，运用到共轭根式的特点使运算简化．(2)中易忽略“n∈N*”这一条件．例5已知函数(x≥1)，是的反函数，记+2．求：(1)的定义域和单调区间；(2)g(x)的最小值．分析：从(x≥1)入手，求出它的值域即为的定义域，对应法则的逆(法则)即为的对应法则，随之g(x)便具体化．解：三、本节所涉及的数淡思想．规律．方法：1．求反函数的方法和步骤：(1)求反函数的方法：①由原解析式解出x=，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；②将x、y互换得；③求反函数的定义域，即原函数的值域．(2)分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成．2．若点(a，b)在原函数的图象上，则(b，a)在反函数的图象上．证明与的图象关于直线)y=x对称，只要证；证明的图象关于y=x对称，只要证四、作业：《纸上练兵》P50—51五、课后记：
