第二编 函数与导数VIP免费

§2.1函数及其表示一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·江西改编)函数y＝的定义域为________________．解析由题意得因此－4≤x≤1且x≠0.答案[－4,0)∪(0,1]2．(2009·福建改编)下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是________．①f(x)＝lnx②f(x)＝③f(x)＝|x|④f(x)＝ex解析y＝定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx定义域为(0，＋∞)，f(x)＝定义域为{x|x≠0}．f(x)＝|x|定义域为R，f(x)＝ex定义域为R.答案①3．(2010·广州模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.解析当a>0时，log2a＝，∴a＝，当a≤0时，2a＝＝2－1，∴a＝－1.∴a＝－1或.答案－1或4．(2008·陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.解析f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.答案65．(2009·金华模拟)已知f＝，则f(x)的解析式为__________．解析令t＝，则x＝，因此f(t)＝＝，因此f(x)的解析式为f(x)＝.答案f(x)＝6．(2009·江苏海安高级中学)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝，则f(3)＝________.解析f(3)＝f(2＋1)＝－f(2)＝－f(1＋1)＝f(1)＝－1.答案－17．(2010·泉州第一次月考)已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝____________.解析设f(x)＝mx(m是非零常数)，g(x)＝(n是非零常数)，则φ(x)＝mx＋，由φ＝16，φ(1)＝8，得，解得.故φ(x)＝3x＋.答案3x＋8．(2010·宿迁模拟)如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边用心爱心专心第二编函数与导数长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是(填序号)．解析首先求出该函数的解析式．当0≤t≤1时，如下图甲所示，有f(t)＝S△MON＝t2.当1≤t<2时，如下图乙所示，有f(t)＝S△AOB－S△MNB＝－(2－t)2＋，.)21(3)2(23)10(23)(22tttttf答案④9．(2009·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝()x；④φ(x)＝lnx，其中是一阶整点函数的是____________________________________．解析对于函数f(x)＝sin2x，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，当x∈Z时，一定有g(x)＝x3∈Z，即函数g(x)＝x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝()x，当x＝0，－1，－2，…时，h(x)都是整数，故函数h(x)通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝lnx，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数．答案①④二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·泰州二模)(1)已知f(x)的定义域是[0,4]，求①f(x2)的定义域；②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，求f(x)的定义域．解(1) f(x)的定义域为[0,4]，①f(x2)以x2为自变量，∴0≤x2≤4，∴－2≤x≤2，故f(x2)的定义域为[－2,2]．②f(x＋1)＋f(x－1)以x＋1，x－1为自变量，于是有∴1≤x≤3.故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．(2) f(x2)的定义域为[0,4]，∴0≤x≤4，∴0≤x2≤16，故f(x)的定义域为[0,16]．11．(16分)(2010·徐州模拟)已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．解设g(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2.用心爱心专心∴解得a＝±2，b＝1.∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.12．(16分)(2009·广东三校一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将...