第2课时指数函数的性质与图像的应用探究一指数式的大小比较例1比较下列各题中两个值的大小:(1)1.7-2.5,1.7-3;(2)1.70.3,1.50.3;(3)1.70.3,0.83.1.解析(1) 1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. -2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.(2)解法一: 1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的图像位于y=1.5x的图像的上方.又 0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.解法二:1.70.31.50.3=(1.71.5)0.3,又1.71.5>1,0.3>0,∴(1.71.5)0.3>1,∴1.70.3>1.50.3.(3) 1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1.思维突破比较两个幂的大小的方法(1)比较同底数不同指数的两个幂的大小时,利用指数函数的单调性来判断.(2)比较底数不同指数相同的两个幂的大小时,利用指数函数的图像的变化规律来判断.(3)比较底数不同指数也不同的两个幂的大小时,则通过中间值来判断.1.若a=0.512,b=0.513,c=0.514,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>cB.a
13>14,∴a0,且a≠1).易错辨析:忽视对底数a的讨论致误.解析当01时, a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.易错点拨解含指数式的不等式的基本方法是先将其化为同底指数式,再利用指数函数的单调性求解,注意底数对不等号方向的影响.2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是.答案(12,+∞)解析 a2+a+2=(a+12)2+74>1,∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-xx>1-xx>⇔⇔12,∴x∈(12,+∞).探究三指数型函数的单调性例3函数y=(12)-x2+2x的单调递增区间是()A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]答案C解析函数由y=(12)t,t=-x2+2x(x∈R)复合而成,因为y=(12)t是减函数,所以只需求t=-x2+2x(x∈R)的单调递减区间即可,易求得t=-x2+2x的单调递减区间为[1,+∞),故选C.思维突破确定指数型函数的单调性的方法与指数函数有关的单调性问题,可先求出内层函数的单调区间,再与外层函数的单调性结合,利用复合函数的单调性确定其单调性.3.(1)(变条件)f(x)=(12)x2+10x-5的单调递增区间为.(2)(变条件、变问法)函数y=(12)❑√-x2+x+2的值域是,单调递增区间是.答案(1)(-∞,-5](2)[(12)32,1];[12,2]解析(1)令y=(12)u,u=x2+10x-5(x∈R),易知y=(12)u为减函数,u=x2+10x-5的图像的对称轴是x=-5,∴u=x2+10x-5的减区间是(-∞,-5],∴函数f(x)=(12)x2+10x-5的单调递增区间为(-∞,-5].(2)易知函数的定义域为[-1,2],令t=❑√-x2+x+2,则t=❑√-(x-12)2+94,x∈[-1,2],则0≤t≤32,∴y=(12)t∈[(12)32,1];y=(12)t是减函数,当12≤x≤2时,函数t单调递减,∴函数y=(12)❑√-x2+x+2的单调递增区间为[12,2].1.若2x+1<1,则x的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)答案D不等式2x+1<1=20, y=2x是增函数,∴x+1<0,即x<-1.2.已知三个数a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,则这三个数的大小关系是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b答案D因为a=60.7>60=1,c=0.80.7>0.70.7>0.70.8=b,c=0.80.7<0.80=1,所以a>c>b.3.(2019北京北师大实验中学高三月考)函数y=2-|x|的单调递增区间是()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[1,+∞)答案B y=2-|x|={2-x,x>0,2x,x≤0,∴函数的单调递增区间是(-∞,0],故选B.4.设0a2x2+2x-3的解集为.答案(1,+∞)解析 0a2x2+2x-3,∴2x2-3x+2<2x2+2x-3,解得x>1.5.函数y=52x2-3x+1的单调递增区间为.答案[34,+∞)解析设u=2x2-3x+1(x∈R),其图像的对称轴为直线x=34,则u=2x2-3x+1在(-∞,34)上单调递减,在[34,+∞)上单调递增,因为y=5u是增函数,所以y=52x2-3x+1在(-∞,34)上单调递减,在[34,+∞)上单调递增.逻辑推理——利用函数性质求解不等式(2020上海建平中学高一月考)已知函数f(x)=12+12x-1.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)解不等式f(x)≥56.素养探究:利用所给条件推理出函数的奇偶性、单调性,再利用奇偶性、单调性的性质求值或解不等式,考查学生的逻辑推理核心素养.解析(1)f(x)为奇函数.理由:函数f(x)=1...
