第四章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读]1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□b＝λa.1．概念辨析(1)在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则AE＝(AC＋AB)．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥bD．若|a|＝0，则a＝0答案C解析A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若a＝b，则a与b方向相同，故a∥b；D错误，若|a|＝0，则a＝0.(2)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A.AP＝ABB.AQ＝ABC.BP＝－ABD.AQ＝BP答案D解析由题意得，AQ＝－BP，故D错误．(3)设a，b是不共线的两个向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，则()A．A，B，D三点共线B．A，C，D三点共线C．A，B，C三点共线D．B，C，D三点共线答案B解析因为BA＝a＋2b，所以AB＝－a－2b，所以AC＝AB＋BC＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3CD.所以AC∥CD，所以A，C，D三点共线．(4)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC＝AB，OC＝－OA＝－a，所以DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－a－b.题型平面向量的基本概念1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④AB＋BA＝0；⑤若λa＝λb，则a＝b.答案①②③④⑤解析对于①，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB＋BA＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1．给出下列说法：①若A，B，C，D是不共线的四个点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中正确说法的序号是()A．①④B．③④C．②③D．①②答案A解析①④正确；②错误，因为a，b的方向不一定相同；③错误，AB＝－BA.2．给出下列命题：①两个具有公共终...
