高考数学二轮复习 第2部分 专题2 数列 第2讲 数列求和与综合问题教案 理-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第2讲数列求和与综合问题[做小题——激活思维]1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2C[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]2．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于()A．15B．12C．－12D．－15A[ an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.]3．若数列的前n项和为，则n的值为()A．9B．10C．11D．12B[ ＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝，由＝可知n＝10.故选B.]4．[一题多解]＋＋＋…＋等于()A.B.C.D.B[法一：(错位相减法)令Sn＝＋＋＋…＋，①则Sn＝＋＋…＋＋，②①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－.∴Sn＝.故选B.法二：(验证法)取n＝1时，＝，代入各选项验证可知选B.]5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.[当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.此时对于n＝1不成立，故an＝]6．数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝________.765[由a1＝－60，an＋1＝an＋3可得an＝3n－63，则a21＝0，|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20＝765.][扣要点——查缺补漏]1．分组求和：形如{an±bn}的数列求和，如T1.2．并项求和：形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，如T2.3．裂项相消求和：形如，其中{an}是等差数列的求和．如T3.4．错位相减法求和：形如{an·bn}的数列求和，其中{an}，{bn}分别为等差和等比两个不同的数列，如T4.5．含绝对值的数列求和：先去绝对值，再求和，如T6.6．数列的通项的求法(1)利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况．如T5.(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法①累加法：适用于形如an＋1＝an＋f(n)的数列；②累乘法：适用于形如＝f(n)的数列；③构造法：形如an＋1＝，可转化为－＝，构造等差数列；形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p，构造等比数列.数列中的an与Sn的关系(5年3考)[高考解读]高考对本点的考查常以an＝Sn－Sn－1n≥2为切入点，结合等差比数列的相关知识求an或Sn.预测2020年会以数列an与Sn的递推关系为载体，加强转化构造能力的考查.1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.－63[因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.－[ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]3．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.(－2)n－1[当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]由Sn与an的关系求an的思路利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形，看其是否可以与n≥2的表达式合并．1．(用累加或累乘法求通项)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an，则an＝________.[ Sn＝an，且a1＝1，∴当n＝2时，a1＋a2＝a2，即a2＝3a1＝3.又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，即an＝an－1.∴an＝···…··a1＝···…·××1＝.]2．(用构造法求通项)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为________．Sn＝3n－2n[ an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴＝·＋，∴－1＝，又－1＝－1＝－...