第三节直线、平面平行的判定与性质突破点一直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是________________．答案：平行、相交或异面2．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是____________________．解析：因为a∥α，∴a与平面α没有公共点，若b⊂α，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案：平行考法一线面平行的判定[例1]如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.1[证明]法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法二线面平行性质定理的应用[例2]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD. 平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．21.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．证明：C1F∥平面ABE.证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴C1M∥平面ABE， C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，又C1F⊂平面FMC1，故C1F∥平面ABE.2.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.证明：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.突破点二平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a...
