第八章圆锥曲线知识结构网络直线与圆锥曲线位置关系圆锥曲线统一定义作图几何性质标准方程抛物线定义双曲线定义椭圆定义8．1椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）xyOFFPAAB11121222MMKK2．标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上），这种形式用起来更方便。3．性质：对于椭圆：（a＞b＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;(参见课本)此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式：|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；(由第二定义推得)⑧焦准距；准线间距;通径长;⑨最大角证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则对于椭圆：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。4．椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关．5．对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程：；注意θ不是∠xOP(x,y)．6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,对椭圆：,则kAB=．三、双基题目练练手1．（2006全国Ⅱ）已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．B．6C．D．122．(2005广东)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．3．(2006山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为()A．B．C．D．4．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为()A．－1B．2－C．D．5．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为__________________．6．(2006四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．FBAP7P6P5P4P3P2P1oyx简答提示：1-4．CBBA；4．易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（）2+2（）－2=0，=－1．5．+=1或+=1；6．根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴=35四、经典例题做一做【例1】若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．x+y=1，ax2+by2=1，∴x0==，y0==1－=．∴M（，）． kOM=，∴b=a．① OA⊥OB，∴·=－1．由∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.∴x1x2+y1y2=0． x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=．∴+=0．∴a+b=2．②由①②得a=2（－1），b=2（－1）．∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1．法2：(点差法)由ax1+by1=1,ax2+by2=1相减得,即…下同法1．提炼方法：1．设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2．点差法得b=a．…【例2】(2005湖南)已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线,l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点...
