第三节等比数列1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.[小题体验]1．设Sn是等比数列的前n项和，若a1＝1，a6＝32，则S3＝________.答案：72．在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝________.解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，所以q2·q4＝4(q3－1)，即q6－4q3＋4＝0，q3＝2，所以a7＝q6＝4.法二：设等比数列{an}的公比为q,由a3a5＝4(a4－1)得a＝4(a4－1)，即a－4a4＋4＝0，所以a4＝2，因为a1＝1，所以q3＝2，a7＝q6＝4.答案：43．(2018·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得两式相除得q2－q－6＝0，即q＝3或q＝－2(舍去)，从而得a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.答案：3n－11．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．[小题纠偏]1．(2019·扬州质检)在等比数列中，若a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q＝________.解析：由已知得则＝3，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.答案：1或－2．各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40＝_______.解析：依题意有S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30仍成等比数列，则2(14－S20)＝(S20－2)2，解得S20＝6.所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，即为2,4,8,16，所以S40＝S30＋16＝30.答案：30[典例引领]1．(2019·苏北四市调研)在各项均为正数的等比数列中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．解析：设等比数列的公比为q，由a2＝1，a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，则a6＝a2q4＝4.答案：42．(2018·南通一调)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.解析：法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.显然q≠1，由题意得解得或所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63.法二：由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63.答案：63[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝[即时应用]1．(2019·如东调研)设等比数列的前n项和为Sn.若27a3－a6＝0，则＝________.解析：设等比数列的公比为q，则＝q3＝27，所以＝＝1＋＝1＋＝1＋q3＝28.答案：282．(2018·苏北四市期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q＝________.解析：显然q≠1，由题意得整理得解得q＝2.答案：2[典例引领](2019·南京高三年级学情调研)已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为S...
