高考数学 第一节 平面向量的概念及线性运算教材VIP专享VIP免费

第一节平面向量的概念及线性运算考点串串讲1．向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量．物理学中又叫做矢量．如力、速度、加速度、位移就是向量．向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用一个小写字母a，b，c…表示，或用两个大写字母加→表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)，如AB、MN等．(2)向量的长度向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或“称模”)，记作|AB|.a的模为|a|.说明：向量是既有大小又有方向的量，不同于数量，而向量的模是正数或0，可以进行大小比较．(3)零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.显然|0|＝0，但零向量的方向是不确定的．(4)单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量．平行向量也叫做共线向量．若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行．(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可．②向量a，b相等记作a＝b.③零向量都相等．④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关．2．对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小．(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同．向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上．3．向量的加法(1)向量的加法定义已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b.如图所示．用心爱心专心1求两个向量和的运算叫做向量的加法．对于零向量与任意向量a有0＋a＝a＋0＝a.说明①两个向量的和仍然是向量．②可借助物理学中力的合成、位移等知识来理解向量的加法．(2)向量加法的三角形法则根据向量的定义求向量的和的方法，叫向量加法的三角形法则．说明①“首尾相连”具体是指：后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段表示它们的和向量，也可适用于多个向量的加法运算．②当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且有|a＋b|＜|a|＋|b|.③当a与b共线时，即a与b同向、反向或其中至少一个为零向量时：1°当a，b有一个为零向量时，则有a＋b的方向和大小与另一个向量相同．2°当a，b为非零向量且方向相反时，若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|，如图所示．3°当a，b为非零向量且方向相同时，a＋b的方向与a(或b)的方向相同且|a＋b|＝|a|＋|b|，如图所示．(3)向量加法的平行四边形法则以同一点A为起点的两个已知向量a，b所对应的AB，AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线AC就是a，b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图所示．说明①由向量的加法定义，对于两向量共线可用三角形法则，但对于平行四边形法则就不适用．②对于一些实际问题，平行四边形法则较三角形法则更具优越性．(4)向量加法的运算律向量加法满足交换律、结合律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)4．向量的减法(1)相反向量与a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，零向量的相反向量仍是零向量．说明①－(－a)＝a.②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.③若a，b互为相反向量，则a＋b＝0，a＝－b，b＝－a.(2)向量的减法a与b的相反向量的和，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．用心爱心专心2说明向量减法的实质是向量加法的逆运算．(3)向量减法的几何作法在平面上任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如图所示．a－b表示从b的终点出发指...