第4讲数列求和一、知识梳理1．基本数列求和方法(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d．(2)等比数列求和公式：Sn＝2．数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．常用结论1．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.2．常用的裂项公式(1)＝－.(2)＝.(3)＝－.二、习题改编1．(必修5P47B组T4改编)在数列{an}中，an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝．解析：an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：2．(必修5P61A组T4改编)已知数列：1，2，3，…，，…，则其前n项和关于n的表达式为．解析：设所求的前n项和为Sn，则Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－.答案：＋1－一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当n≥2时，＝－.()(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，当a≠0，且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法求得．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏(1)并项求和时不能准确分组；(2)用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”．1．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9B．8C．17D．16解析：选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝．解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2分组转化法求和(师生共研)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．1．(2020·资阳诊断)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为()A．1121B．1122C．1123D．1124解析：选C.由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.选C.2．(2020·吉林长春质量监测(二))各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，所以a＝a2·(S4＋1)，即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，解得d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3.(2)由(1)可知an－an－1＝2(n≥2)，所以T2n＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a2n－1＋a2n)＝2n.错位相减法求和(师生共研)(2020·郑州市第二次质量预测)已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若an＝＋(n∈N*，且n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记cn＝an·2an，求数...
