三角函数的性质（二）二．教学目标：掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题．三．教学重点：三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用．四．教学过程：（一）主要知识：三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间sinyx奇在[2,2]22kk上增在3[2,2]22kk减()kZcosyx偶在[2,2]kk上增在[2,2]kk减()kZtanyx奇在(,)22kk上增()kZ（二）主要方法：1．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；2．函数sin()yAx(0,0)A的单调区间的确定，基本思路是把x看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．（三）例题分析：例1．判断下列函数的奇偶性：（1）()|sin2|tanfxxxx；（2）cos(1sin)()1sinxxfxx．解：(1)∵()fx的定义域为{|,}2xxkkZ，∴定义域关于原点对称，又∵()|sin(2)|()tan()|sin2|tan()fxxxxxxxfx，∴()fx为偶函数．（2）∵()fx的定义域为{|2,}2xxkkZ不关于原点对称，∴()fx为非奇非偶函数．例2．比较下列各组中两个值的大小：（1）3cos2，1sin10，7cos4；（2）3sin(sin)8，3sin(cos)8．解：（1）∵11sincos()10210，77coscos()44，用心爱心专心1又∵713042102及cosyx在(0,)内是减函数，∴可得317cossincos2104．（2）∵3cossin88，∴330cossin188，而sinyx在(0,1)上递增，∴33sin(sin)sin(cos)88．例3．设定义域为R的奇函数()yfx是减函数，若当02时，2(cos2sin)(22)0fmfm，求m的值．解：∵()yfx是奇函数，∴(22)(22)fmfm，原不等式可化为2(cos2sin)(22)0fmfm，即2(cos2sin)(22)fmfm．∵()fx是减函数，∴2cos2sin22mm，即2sin2sin12mm，22(sin)21mmm，∵02，∴0sin1．当2210mm即1212m时，22(sin)21mmm成立；当12m时，22(1)21mmm，即11成立；当12m时，22(0)21mmm，即12m．综上所述，m的取值范围是12m．例4．《高考A计划》考点31，智能训练13：已知函数()sin()(0,0)fxxR是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M对称，且在区间[0,]2上是单调函数，求和的值．解：由()fx是R上的偶函数，得()()fxfx，即sin()sin()xx，展开整理得：cossincossinxx，对任意x都成立，且0，所以cos0．又0，所以2．由()fx的图象关于点M对称，得33()()44fxfx．取0x，得33()()44ff，所以3()04f，∴333()sin()cos4424f．所以33cos0,0,442k又得，()kN．即2(21),0,1,2,3kk用心爱心专心2220,,()sin()[0,]3322kfxx当时在上是减函数；1,2,()sin(2)[0,]22kfxx当时在上是减函数；102,,()sin()[0,]322kfxx当时在上不是单调函数；综上所得223或．（四）巩固练习：1．①函数tanyx在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则tantan；③函数sin()yAx一定是奇函数；④函数|cos(2)|3yx的最小正周期为2．上列四个命题中，正确的命题是（B）()A①()B④()C①、②()D②、③2．若04，sincosa，sincosb，则（A）()Aab()Bab()C1ab()D2ab3．函数3sin(2)3yx的单调递减区间是5[,]1212kkkZ．五．课后作业：《高考A计划》考点31，智能训练7，8，9，11，12，14，15．用心爱心专心3
