（江苏专版）高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第八节 曲线与方程教案 理（含解析）苏教版-苏教版高三全册数学教案VIP免费

第八节曲线与方程1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹方程为________．解析：设P点的坐标为(x，y)， A(－2,0)，B(1,0)，动点P满足PA＝2PB，∴＝2，平方得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，化简得(x－2)2＋y2＝4，∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x－2)2＋y2＝4.答案：(x－2)2＋y2＝42．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是________．解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.答案：2x－y＋5＝03．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.答案：x2＝2y－11．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[小题纠偏]1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是________．解析：因为PM·PN＝0，所以PM⊥PN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案：以线段MN为直径的圆2．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得－＝×，即AB－AC＝BC，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．答案：－＝1(x＞0且y≠0)[题组练透]1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是________．解析：设P点的坐标为(x，y)，则＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：8x2＋8y2＋2x－4y－5＝02．已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，所以MP2＋NP2＝MN2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．3．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M(x′，0)，P(0，y′)，N(x，y)，由MN＝2MP，得(x－x′，y)＝2(－x′，y′)，所以解得因为PM⊥PF，PM＝(x′，－y′)，PF＝(1，－y′)，所以(x′，－y′)·(1，－y′)＝0，即x′＋y′2＝0，所以－x＋2＝0，即y2＝4x.因此所求的轨迹方程为y2＝4x.[谨记通法]直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．[典例引领]1．(2017·扬州模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．解析：如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．答案：－＝1(x＞3)2．(2019·常熟中学检测)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，...