微专题七放缩法在证明中的应用[解题策略]放缩法是不等式证明的重要方法，其中的放缩技巧既有模式可循但更有创意之变，如何灵活运用放缩法解题是衡量解题者思维好坏的标杆．常见的放缩形式有：(1)的放缩：<＝－(n≥2)，>＝－，<＝－；(2)的放缩：＝<＝－(n≥2)，＝<＝(n≥2)；(3)的放缩：＝>＝2(－)，＝<＝2(－)；(4)真分式的放缩：若a>b>0，m>0，则<.另外，利用重要不等式放缩、导数应用中有关lnx型的放缩(如：ln(1＋x)0)等也是常见的放缩方式．利用放缩法证明不等式的难点是放缩的“度”不好把握，放大了或放小了都得不出所证不等式，这样需要回头调整，留一项或几项不放缩逐步试验向所证结论靠扰，下面举例说明．例1设n∈N*，求证：<.分析当n≥2时，<＝－，所以＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋…＋＝2－<2，而2>，放大了，若从第三项开始放缩如何呢？1当n≥3时，＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<，而>，仍放大了，若从第四项开始放缩呢？当n≥4时，＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋－＝－<，恰好证得结果．又易知当n＝1,2,3时，不等式显然成立．因此，<.例2设n∈N*，求证：<<.分析因为>＝k，所以>＝，左边得证．又因为<＝k＋1，所以<(k＋1)＝，≥，放大了，得不到所证结论，于是应该作调整．事实上，<＝k＋，所以<＝＋＝<.故<<.例3求证：16<<17.证明因为＝<＝2(－)，所以<1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2－1<2－1＝17.又＝>＝2(－)，所以>2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2－2＝16.故16<<17.评注在证明<17时，对第一项没有进行放缩．23
