（浙江专用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何教案-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第3讲空间向量与立体几何利用空间向量证明平行、垂直及求空间角[核心提炼]1．利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．利用直线的方向向量与平面的法向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，υ＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝|cos〈a，μ〉|.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ，则|cosθ|＝＝|cos〈μ，υ〉|.[典型例题](1)如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：①OM∥平面BCF；②平面MDF⊥平面EFCD.(2)(2018·高考浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.1①证明：AB1⊥平面A1B1C1；②求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【解】(1)证明：由题意知，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O.①OM＝，BA＝(－1，0，0)，所以OM·BA＝0，所以OM⊥BA.因为棱柱ADEBCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以BA是平面BCF的一个法向量，又OM⊄平面BCF，所以OM∥平面BCF.②设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为DF＝(1，－1，1)，DM＝，DC＝(1，0，0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0，1，1)．因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.(2)①证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)．因此AB1＝(1，，2)，A1B1＝(1，，－2)．A1C1＝(0，2，－3)．由AB1·A1B1＝0得AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1＝0得AB1⊥A1C1.2所以AB1⊥平面A1B1C1.②设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由①可知AC1＝(0，2，1)，AB＝(1，，0)，BB1＝(0，0，2)．设平面ABB1的法向量n＝(x，y，z)．由即可取n＝(－，1，0)．所以sinθ＝|cosAC1，n|＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.(1)利用空间向量证明平行与垂直的步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．④根据运算结果解释相关问题．(2)运用空间向量求空间角的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(3)求空间角的注意点①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.②所求的二面角不一定是两平面的法向量的夹角，有可能为两法向量夹角的补角．[对点训练]1．(2019·绍兴市柯桥区高三期中考试)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求GF与平面ABE所成角的正切值．解：(1)证明：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB，又F是CD中点，所以DF＝CD，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF.所以四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH，又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过B作BQ∥EC，因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE，又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为...