第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域R{x|x≥0}{x|x≠0}值域{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇非奇非偶单调性(－∞，0)减，(0，＋∞)增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质f(x)＝ax2＋bx＋ca＞0a＜0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：[小题体验]1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为________________．答案：f(x)＝x(x≥0)2．(2019·天一中学高三测试)已知点P1(x1,2019)和P2(x2,2019)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．答案：913．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．答案：1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．答案：2．给出下列命题：①函数y＝2x是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；③当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.其中正确的是________(填序号)．答案：②[题组练透]1．(2018·苏州高三期中调研)已知幂函数y＝x2m－m2(m∈N*)在(0，＋∞)是增函数，则实数m的值是________．解析：由题意知2m－m2＞0，解得0＜m＜2，因为m∈N*，所以m＝1.答案：12．(2019·常州一中检测)已知函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则f＝________.解析：函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则3－m＝1，解得m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f＝2.答案：23．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.答案：[谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为2根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[典例引领]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n.因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线对称轴为x＝＝.所以m＝，又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由已知得解得所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由已知得解得3所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，即f(x)＝x2＋x－.答案：x2＋x－2...
