（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习 第六章 数列 高考专题突破三 高考中的数列问题（第1课时）等差、等比数列与数列求和教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第1课时等差、等比数列与数列求和题型一等差数列、等比数列的交汇例1记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．思维升华等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．跟踪训练1(2019·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．解(1)设数列{an}的公差为d.由题意可知整理得即∴an＝2n－1.(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，∴n＝9，公比q＝＝.题型二数列的求和命题点1分组求和与并项求和1例2(2018·吉大附中模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则an＝a1qn－1，且an>0，由已知得化简得即又 a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝a＋log2an＝4n－1＋n－1，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)＝＋＝＋.命题点2错位相减法求和例3(2018·大连模拟)已知数列{an}满足an≠0，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N*.(1)求证：是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由已知可得，－＝2，∴是首项为3，公差为2的等差数列，∴＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝.(2)由(1)知bn＝(2n＋1)2n，∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n，2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1，两式相减得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1.＝6＋－(2n＋1)2n＋1＝－2－(2n－1)2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.命题点3裂项相消法求和例4在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.2(1)证明nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以n(n＋1)，得－＝2(n∈N*)，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列．(2)解由(1)，得＝2n＋2，所以an＝2n2＋2n，故＝＝·＝·，所以Sn＝＝＝.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an(n∈N*)．①证明：数列是等比数列；②求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.①证明 a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0，又＝，∶＝(n∈N*)为常数，∴是以为首项，为公比的等比数列．②解由是以为首项，为公比的等比数列，得＝·n－1，∴an＝n·n.∴Sn＝1·＋2·2＋3·3＋…＋n·n，Sn＝1·2＋2·3＋…＋(n－1)n＋n·n＋1，∴两式相减得Sn＝＋2＋3＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1，∴Sn＝2－n－1－n·n＝2－(n＋2)·n.综上，an＝n·n，Sn＝2－(n＋2)·n.(2)(2018·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．①求数列{an}的通项公式；②若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.解①因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，3所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝a＋3an＋2.(ⅰ)当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得6an＝a＋3an－a－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，所以an＝3n－2(n∈N*)．②因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…...