专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型1.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.2.(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|＝＝＝＝2.1即四边形ABNM的面积为定值2.3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM＋ON＝λOC，求实数λ的取值范围.解(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝1⇒2k＝(t≠0)，把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，因为λOC＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以C，又因为点C在椭圆上，所以，＋＝1⇒λ2＝＝，因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，).4.已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.解(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，则OA·OB＝0，所以tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(01)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.(1)解将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝3，圆M的圆心为M(3，1)，半径r＝.由A(0，1)，F(c，0)(c＝)得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切，得＝.∴c＝或c＝－(舍去).∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由AP·AQ＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0，1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1(k≠0)，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理得：(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成－，得Q.∴直线l的方程为y＝＋，化简得直线l的方程为y＝x－.因此直线l过定点N.6.(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程...
