微专题一多元变量的最值问题[经验分享]在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法．一、代入减元例1设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．解由2x＋8y－xy＝0得y＝，因为x，y∈R＋，所以x>8，所以x＋y＝x＋＝x＋＝x＋2＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当x－8＝，即x＝12时，取“＝”号．所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y＝，代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．二、等量减元例2设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为()A．0B．1C.D．3答案B解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由变到就已经应用到了代入消元，再由变到仍然用到了整体消元的思想(把当做整体)，从而寻求到了取最大值时变量x，y，z之间的关系．最后由＋－变到－＋应用到了x，y，z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．三、换元减元例3已知θ∈，不等式2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取值范围．解原问题等价于：当θ∈时，不等式m≤2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1恒成立．令y＝2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1，θ∈，即求函数的最小值．1令t＝sinθ＋cosθ＝sin，因为θ∈，所以θ＋∈，所以t∈[1，]．又2sinθcosθ＝t2－1，所以y＝t2－1＋t＋1＝2－，当t＝1(即θ＝0)时，ymin＝2.故m≤2.点评此题中的sinθcosθ，sinθ＋cosθ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sinθcosθ与sinθ＋cosθ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．四、整体减元例4已知函数f(x)＝xlnx－·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点．(1)求a的取值范围；(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2.解(1)0
x2>0，则由以上两式分别相加和相减得：ln(x1x2)＝a(x1＋x2)，ln＝a(x1－x2)．消去a得ln(x1x2)＝·ln.又因为要证x1·x2>e2成立，故只需证ln(x1x2)>2，即只需证·ln>2，即证ln>2·，即只需证ln>2·，令t＝>1，则上式为lnt>2·.构造函数g(t)＝lnt－2·(t>1)，则g′(t)＝>0，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，即不等式lnt>2·成立．故x1·x2>e2.点评此题属于难题．由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在．以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的．可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器．23
