EX1.矢量空间练习1.1试只用条件（1）~（8）证明，和。（完成人：梁立欢审核人：高思泽）证明：由条件（5）、（7）得只需证明和这两式互相等价根据条件（7）现在等式两边加上，得根据条件（4），上式左根据条件（4）、（2）上式右由，根据条件（4）、（7）得#练习1.2证明在内积空间中若对任意成立，则必有。（完成人：谷巍审核人：肖钰斐）证明由题意可知，在内积空间中若对任意成立，则有,－,=0(1)于是有(2)由于在内积空间中对任意成立，则可取,则有=0成立（3）根据数乘的条件（12）可知，则必有（4）即故命题成立，即必有.#练习1.3矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。（完成人：赵中亮审核人：张伟）解：矢量空间运算的12个条件是独立的。#练习1.4（1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角的分角线方向，空间是否仍为内积空间？（2）在第二个例子中若将二矢量内积的定义改为或，空间是否仍为内积空间？（3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为空间是否仍为内积空间？（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：一般情况下，,即有=所以内积的定义改变之后不是内积空间。（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下：iii．iii．iv.，对任意成立若综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为后，空间不是内积空间。因为，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为后，空间是内积空间。证明如下:iiiiiiiv若，则必有综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。#练习1.5若a为复数，证明若时，Schwartz不等式中的等号成立。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）证明：当若时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。左边=右边=左边=右边，说明当时，Schwartz不等式中的等号成立。#练习1.6证明当且仅当对一切数成立时，与正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。（完成人：赵中亮审核人：张伟）证明：解：当对一切数成立时，有即得即因为可以取一切数,所以当取纯虚数时，即得由此得只能是实数当取非零实数时，即只有时，即与正交时才成立所以当对一切数成立时，与正交。当与正交时，则取为任意数则得即对一切数成立综上，当且仅当对一切数成立时，与正交。在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是矩形#练习1.7证明：当且仅当对一切数成立时，与正交。（完成人：班卫华审核人：何贤文）证明：因为，两边平方得则构成以为变量的二次函数，要使对一切成立，判别式恒小于等于零，即只需即得所以当对一切数成立时，与正交。练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：它们构成一个完全集，试用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）解：由Schmidt方法，所求基矢：#练习1.9在上题中，改变四个的次序，取重新用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：何贤文审核人：班卫华）解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{}，求这个空间的一组基矢{}.（1）首先取为归一化的：（2）取，选择常数使与正交，即得，取为归一化的：（3）取，选择常数和使与正交，即归一化的为（4）取，选择常数使与已选定的正交，即归一化的为则找到一组基矢为{}.#练习1.10在三维位形空间中，，，是在互相垂直的x，y，z三个轴上的单位矢量。取三个归一化的矢量：（高思泽...
