一组不等式的几何证明有下列一道复习题：已知，用不等号从小到大连结下列各式：。本题只要通过变形、代换等代数方法，就可以得到：。如果作进一步探讨，还可以看到一组十分重要且应用广泛的不等式：（*）我们可以给这组不等式几种解释，并用几何方法证明它，使同学们能从中体会它的几何意义。如图1，设梯形ABDC的上底AB的长为b，下底CD的长为a，用四条平行于上、下底的线段去截这个梯形，交两腰于。其中过梯形对角线的交点分梯形为两个相似的小梯形，为梯形的中位线，分梯形为两个面积相等的小梯形。（1）我们先证明：。证明：因为，所以。从而。，故。类似可以得到，。因为，从而，即。故因为梯形与梯形相似，所以，即。故。因为是梯形ABDC的中位线，显然有。若，则有。不妨设，则CA与BD必相交。设交点是P，则。设。因为相似三角形的面积之比等于对应边平方之比，所以用心爱心专心，。因为，即，所以。即，故，即。（2）设分别把梯形ABCD的高截成的两条线段的比是，显然有。而，。因为，故，即，从而推出（当且仅当时，等号成立），这就得出不等式（*）的证明。用心爱心专心
