高中数学教（学）案第7讲：空间角VIP免费

DCOAB题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间角高考要求1掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念2会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角知识点归纳1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，,ab所成的角的大小与点O的选择无关，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角直线和平面所成角范围：0，2（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos215二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l；6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角（2）一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为,,OAOBO为垂足，则AOB也是l的平面角说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法用心爱心专心21cbaPOABb′Oba8求二面角的射影公式：SScos，其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,ab所成的角：coscos,ab；⑵直线a与平面(法向量n)所成的角：sincos,an；⑶锐二面角：coscos,mn，其中,mn为两个面的法向量题型讲解例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．1015解法一：(几何法)如图，连结D1F1，则D1F11121CB11CBBC∴D1F1BC21设点E为BC中点∴D1F1BE1BDEF1∴∠EF1A或补角即为所求由余弦定理可求得cos∠EF1A=1030．解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1则A（－1，0，0），F1（－21，0，1），B（0，－1，0），D1（－21，－21，1）即1AF�=（21，0，1），1BD�=（－21，21，1）∴cos<1AF�，1BD�>=103041411411141点评：解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作—证—算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点．例2在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解．用心爱心专心ABCA1B1C1D1EF1xzy解法一:取BC的中点F，连结AF、DF 正四面体ABCD∴BC⊥AF，BC⊥DF∴BC⊥面AFD，而BCØ平面BCD∴面AFD⊥面BCD过E作EH⊥DF于H，而DFØ平面BCD，则EH⊥面BCD则∠ECH为CE与面BCD所成的角．在Rt△CEH中，sin∠ECH=32．即CE与平面BCD成的角为arcsin32．解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z轴X轴平行于BC设正四面体ABCD的棱长为a，则336,,,6233aaaaOFFCODOA∴336(,,0),(0,,0),(0,0,),2633aaaaCDA E为AD的中点，∴36(0,,)66aaE∴36(,,)236aaaCE�又因为平面BCD的法向量为(0,0,1)n，∴即CE与平面BCD成的角满足：2sincos,3||||CEnCEnCEn���点评：求线面角的两种方法例3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC...