第六节双曲线[全盘巩固]1．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A因为双曲线的焦距为10，所以c＝5.又因为P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y＝x，所以1＝，即a＝2b.又因为c2＝a2＋b2＝5b2＝25，所以b2＝5，a2＝20.即双曲线方程为－＝1.2．(·福建高考)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C．1D.解析：选B双曲线x2－y2＝1的顶点为(－1,0)，(1,0)，渐近线方程为x＋y＝0和x－y＝0，由对称性不妨求点(1,0)到直线x－y＝0的距离，其距离为＝.3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.解析：选C因为双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，所以c＝3，又b2＝5，所以a2＝c2－b2＝9－5＝4.即a＝2.所以双曲线的离心率e＝＝.4．(·惠州模拟)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，)B．(1，]C．(∞，＋)D．[∞，＋)解析：选C 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2.∴e＝＝>＝.5．已知双曲线－＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上．则·＝()A．－12B．－2C．0D．4解析：选C由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x2－y2＝2，于是F1，F2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0.6．(·杭州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1＝()A.B.C.D.解析：选C据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a①；由勾股定理得m2＋n2＝4c2②；又由离心率e＝＝5③，三式联立解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.7．(·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________________．解析：因为双曲线－＝1的两条渐近线方程为－＝0，化简得y＝±x.答案：y＝±x8．(·陕西高考)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．解析：依题意知m>0，则e2＝＝1＋＝1＋＝，解得m＝9.答案：99．(·丽水模拟)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.答案：210．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1) e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的边F1F2上的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝6.11．(·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解：(1) 双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②又 a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0， e>1，∴e...
