高考数一轮复习 第八章 第五节 椭圆突破热点题型 文VIP免费

第五节椭圆考点一椭圆的定义和标准方程[例1](1)(·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)(·岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答](1)由右焦点为F(1,0)，可知c＝1，因为离心率为，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，c＝a＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.[答案](1)D(2)＋＝1【互动探究】在本例(2)“中若将条件焦点在x”轴上去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.综上可知C的方程为＋＝1或＋＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)，＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．“注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要”先定型，再定量，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：选C根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.2．(·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D 椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.∴椭圆的方程为x2＋4y2＝4b2. 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为＋＝1.考点二椭圆的几何性质及应用[例2](1)已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是()A．0B．1C．2D．2(2)(·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为()A.B.C.D.[自主解答](1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2. 点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.(2)如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴C的离心率e＝＝.答案：(1)C(2)B【方法规律】1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝＝.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B.又A(0，c)，所以|AB|＝＝c.由S△AF1B＝|AF...