第一节函数及其表示考点一函数的定义域[例1](1)(·南昌模拟)函数f(x)＝的定义域是()A.B.C.D.(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)由题意得解得x>－且x≠1.(2)因为函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x2－1≤8，故函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)D(2)[－1,8]【互动探究】本例(2)改为：f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：因为f(x)的定义域为[0,3]，所以0≤x2－1≤3，即1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1，故函数y＝f(x2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(·广州模拟)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(∞－，1)，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选D －2x＋a>0，∴x<，∴＝1，∴a＝2.2．已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．解析：由f(x)的定义域为[0,4]，得解得1≤x≤3，即函数f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]考点二求函数解析式[例2](1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．[自主解答](1)令t＝2x＋1，则x＝(t－1)，所以，f(t)＝42＋2×(t－1)＋1＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1.即f(x)＝x2－x＋1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.所以所以a＝b＝.因此f(x)＝x2＋x.(3)由2f(x)＋f＝3x，得2f＋f(x)＝.由得f(x)＝2x－(x≠0)．【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．求下列两个函数的解析式：(1)f(＋1)＝x＋2；(2)定义在(－1,1)内，且函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．解：(1)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二： x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．高频考点考点三分段函数1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)；(2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值；(3)已知分段函数解析式，求解不等式；(4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性；(5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．[例3](1)(2012·江西高考)函数f(x)＝则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0(2)(·青岛模拟)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1∞，＋)D．[0∞，＋)(3)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[自主解答](1)f(10)＝lg10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.(2)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，又因为x≤1，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，又因为x>1，所以x>1.故x的取值范围是[0∞，＋)．(...
