第六节数学归纳法考点一用数学归纳法证明等式[例1]用数学归纳法证明：…＋＋＋＝(n∈N*)．[自主解答]①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1)时，等式成立．…即＋＋＋＝，当n＝k＋1…时，左边＝＋＋＋＋＝＋＝＝＝，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②可得对任意n∈N*，等式成立．【方法规律】用数学归纳法证明等式的方法(1)“”用数学归纳法证明等式问题，要先看项，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，原等式成立．考点二用数学归纳法证明不等式[例2]已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an
0，又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋10，又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋20且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>.①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式>右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，··…··>·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，≥≥只需证，即证，≥≥由均值不等式＝成立，故成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知n∈N*时，不等式··…·>成立．考点三“——”归纳猜想证明问题[例3]已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．[自主解答](1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1...
