第六节数学归纳法[全盘巩固]1．用数学归纳法证明不等式1…＋＋＋＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10解析：选B左边＝1…＋＋＋＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.2“．用数学归纳法证明1＋a＋a2…＋＋an＋1＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C 等式的左端为1＋a＋a2…＋＋an＋1，∴当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.3．利用数学归纳法证明不等式1…＋＋＋＋的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是____________．解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案：8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________.解析： a1＝1，∴a2＝a1＋1＝，a3＝a2＋1＝，a4＝a3＋1＝.猜想an＝.答案：9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________________(用n表示)．解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4…＋＋(n－1)＝2＋3＋4…＋＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．答案：5(n＋1)(n－2)10．用数学归纳法证明下面的等式：12－22＋32－42…＋＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42…＋＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42…＋＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k.∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有12－22＋32－42…＋＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.11．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3…，.(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解：(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①②可得，对于任意的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．12．(·舟山模拟)…若不等式＋＋＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．解：当n＝1时，＋＋>，即>，所以a<26.而a是正整数，所以取a＝25，下面用数学归纳法证明…＋＋＋>.(1)当n＝1时，已证得不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，…即＋＋＋>.则当n＝k＋1…时，有＋＋＋…＝＋＋＋＋＋＋－>＋.因为＋－＝－＝＝>0，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n，都有…＋＋＋>，所以a的最大值等于25.[冲击名校]已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：...
