第五节直接证明与间接证明[全盘巩固]1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数解析：选B“”“”至少有一个的否定为都不是．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
QB．P＝QC．P1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.“其中能推出：a、b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a＝，b＝，则a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a、b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a、b中至少有一个大于1.答案：③9．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的范围为.法二：(直接法)依题意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，得－0，－>1.求证：>.证明： －>1，a>0，∴0，只需证·>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1.这是已知条件，所以原不等式成立．11．设Sn表示数列{an}的前n项和．(1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．解：(1)法一：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2…＋＋an＝a1＋(a1＋d)…＋＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)…＋＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.法二：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2…＋＋an＝a1＋(a1＋d)…＋＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1…＋＋a1＝[a1＋(n－1)d]...
