高考数一轮复习 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法突破热点题型 文VIP专享VIP免费

第二节一元二次不等式及其解法高频考点考点一一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[例1](1)(·广东高考)不等式x2＋x－2<0的解集为______________．(2)(·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________．(3)(·重庆高考)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.B.C.D.[自主解答](1)由x2＋x－2<0，得(x－1)(x＋2)<0，∴－20，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝①当x>0时，由f(x)>x，得x2－4x>x，解得x>5；②当x＝0时，f(x)>x无解；③当x<0时，由f(x)>x，得－x2－4x>x，解得－5x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5∞，＋)．(3)法一： 不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根．由韦达定理知∴x2－x1＝＝＝15，又 a>0，∴a＝.法二：由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0， a>0，∴不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(－2a,4a)，又 不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，∴x1＝－2a，x2＝4a. x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得a＝.[答案](1){x|－20在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴00.解： x2－(3＋a)x＋3a>0，∴(x－3)(x－a)>0.①当a<3时，x3，不等式的解集为{x|x3}；②当a＝3时，不等式为(x－3)2>0，不等式的解集为{x|x∈R且x≠3}；③当a>3时，x<3或x>a，不等式的解集为{x|x<3或x>a}．考点二一元二次不等式的恒成立问题[例2]设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．[自主解答](1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；若m≠0，则⇒－40，所以m<.令y＝＝，因为t＝2＋在[1,3]上是增函数，所以y＝在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值ymin＝.所以，m的取值范围是.【互动探究】在本例条件下，求使f(x)<0，且|m|≤1恒成立的x的取值范围．解：将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．则即解得