高考数一轮复习 第三章 第七节 解三角形应用举例突破热点题型 文VIP免费

高频考点考点一测量距离问题1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题．[例1](1)(·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．(2)(·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.①求索道AB的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答](1)如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理＝，得AC＝AB·＝2×＝千米．(2)①在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040m.所以索道AB的长为1040m.②假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500m.乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤≤－3≤，解得v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．[答案](1)测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析： ∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AB＝AC，∴河宽为AC＝60m.答案：60m2.如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，sin∠ADC＝，在△ACD中，由条件知CD＝21km，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝×＋×＝.由正弦定理＝，所以AD＝×＝15km，故这时此车距离A城15千米.考点二测量高度问题[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答]如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°.过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得＝，则BD＝＝20.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝BDsin15°＝20×＝10(－1)m.在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，则AB＝BEtan30°＝(3－)m.故塔高为(3－)米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6km/h，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了xm时到达测得仰角最大的地方，则xtan30°＝(40－x)tan15°，即＝＝tan15°＝tan(45°－30°)＝2－3.解得x＝10(3－)．又v＝6km/h＝100m/min，故所用时间t＝＝min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中...