高频考点考点一测量距离问题1.测量距离问题是高考的常考内容,既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.2.高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度:(1)测量问题;(2)行程问题.[例1](1)(·上海高考)在相距2千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离是________千米.(2)(·江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.①求索道AB的长;②问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内?[自主解答](1)如图,∠C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理=,得AC=AB·=2×=千米.(2)①在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.由正弦定理=,得AB=×sinC=×=1040m.所以索道AB的长为1040m.②假设乙出发tmin后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.③由正弦定理=,得BC=×sinA=×=500m.乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550m,还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤≤-3≤,解得v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在,(单位:m/min)范围内.[答案](1)测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题.首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)行程问题.首先根据题意画出图形,建立三角函数模型,然后运用正、余弦定理求解.1.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则这条河的宽度为________.解析: ∠CAB=30°,∠CBA=75°,∴∠ACB=75°,∴AB=AC,∴河宽为AC=60m.答案:60m2.如图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?解:在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC===-,所以cos∠ADC=,sin∠ADC=,在△ACD中,由条件知CD=21km,A=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=×+×=.由正弦定理=,所以AD=×=15km,故这时此车距离A城15千米.考点二测量高度问题[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.[自主解答]如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40m,此时∠DBF=45°.过点B作BE⊥CD于E,则∠AEB=30°.在△BCD中,CD=40m,∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得=,则BD==20.∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中,BE=BDsin15°=20×=10(-1)m.在Rt△ABE中,∠AEB=30°,则AB=BEtan30°=(3-)m.故塔高为(3-)米.【互动探究】在本例条件下,若该人行走的速度为6km/h,则该人到达测得仰角最大的地方时,走了几分钟?解:设该人走了xm时到达测得仰角最大的地方,则xtan30°=(40-x)tan15°,即==tan15°=tan(45°-30°)=2-3.解得x=10(3-).又v=6km/h=100m/min,故所用时间t==min.即该人到达测得仰角最大的地方时,走了分钟.【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时,要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键.(2)在实际问题中...