第一节平面向量的概念及其线性运算考点一向量的概念[例1]给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若＝，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]D【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．高频考点考点二平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题．2．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)考查向量加法或减法的几何意义；(2)求已知向量的和；(3)与三角形联系，求参数的值；(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．[例2](1)(·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b(2)(·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝()A．0B．C．D．第(2)题图第(3)题图(3)(·四川高考)如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.(4)(·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[自主解答](1)法一：(代数法)将原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，∴a⊥b.法二：(几何法)如图所示：在▱ABCD中，设＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b， |a＋b|＝|a－b|，∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD为矩形，∴a⊥b.(2)因六边形ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.(3)由平行四边形法则，有＋＝＝，已知＋＝λ，所以λ＝2.(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， ＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.[答案](1)B(2)D(3)2(4)平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)与三角形联系，求参数的值．求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数．(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故＝，则＝a＋b＋＝a＋b.2．若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么()A．＝B．＝2C．＝3D．2＝解析：选A因为D是BC边的中点，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0⇒＋＝0⇒＝.3．(·青岛模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D设＝y， ＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)， ＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈， ＝x＋(1－x)...
