高考数一轮复习 第五章 第一节 数列的概念与简单表示突破热点题型 文VIP免费

第一节数列的概念与简单表示考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19…，；(2)0.8,0.88,0.888…，；(3)…，，－，，－，，.[自主解答](1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)…数列变为，，，，故an＝.(3)各项的分母分别为21,22,23,24…，，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－，…原数列化为－，，－，，，故an＝(－1)n.【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9…，；(2)…，，，，，；(3)－1…，，－，，－，，.解：(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24…，，∴an＝.(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴an＝(－1)n.考点二由递推关系式求通项公式[例2]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(4)a1＝，an＋1＝.[自主解答](1) an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2…，，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘，得an＝a1×××…×＝＝.(2) an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.(3) an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.(4) an＋1＝，∴＝＋，∴－1＝.又－1＝，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴－1＝·＝，∴an＝.【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)“”，可用累加法求an；(2)已知a1且＝f(n)“”，可用累乘法求an；(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列；(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：选A由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，∴an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，…a2－a1＝ln，将以上n－1个式子相加，得an－a1＝ln＋ln…＋＋ln＝ln＝lnn，∴an＝2＋lnn(n≥2)，经检验n＝1时也适合．2．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：选B an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有∴∴≤k≤， k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.高频考点考点三an与Sn关系的应用1．an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．2．高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.[例3](1)(·全国高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.n-1C.n－1D.(2)(·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.(3)(·湖南高考改编)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.求a1，a2，并求数列{an}的通项公式．[自主解答](1)由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1.(2)由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，∴当n≥2时，an＝－2an－1，又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.(3)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.因为a1≠0，所以a1＝1....