如何判定物体作简谐振动一、概念和规律1、定义：（象弹簧振子那样）物体在跟位移（相对于平衡位置）大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。2、动力学特点：F回=-kx。3、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为：T＝2π。故：简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数（回复系数）的平方根成反比，而与振幅无关。对弹簧振子而言：弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比，而与振幅无关。二、判断简谐运动的方法：例1、如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗？接触面均光滑。解析:图1中,从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在AB斜面上的运动.受重力和斜面弹力作用:在垂直斜面方向上,重力的分力Gcosα与斜面弹力N平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα沿斜面AB向下,为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动时,其受力Gsinβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球在ABC斜面上的受力情况.不满足F回=-kx的关系,故不是简谐运动.图2中,从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在光滑圆弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径R方向,弹力N与重力的分力Gcosθ提供向心力;在轨道切线方向上,重力的分力Gsinθ提供回复力.即:F回=Gsinθ,当θ≤5O时,sinθ≈θ.弦弧││,小球相对于平衡位置的位移x=││=s=Rθ,则F回=Gsinθ≈Gθ≈.对指定的小求和凹槽轨道,m、R均为定值,故为一不变的常量,再考虑到回复力F回与振动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,则F回=-kx。故当θ≤5O时,小球的运动是简谐运动.例2、截面为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。静止时，它浸入水中的部分长度为l0，现将木棍稍向上提起，然后松手。试证明：松手后，木棍做简谐运动（水的阻力忽略不计）。解析：以木棍为研究对象，木棍受到浮力和重力的作用，木棍处于平衡时，与水平相交于A点。取A点为平衡位置（为什么？）取向上方向为正方向，如图3。用心爱心专心根据牛顿第二定律，当木棍静止在水面时有：ρ木lsg－ρ水l0sg＝0…………（1）若木棍偏离平衡位置x，木棍所受合力：F合＝F浮－mg＝ρ水（l0－x）sg－ρ木lsg……（2）（1）（2）联解：F合＝－ρ水sgx设ρ水sg＝k，则有：F合＝－kx。根据简谐于运动的定义，木棍在水面上下的振动是简谐运动。例3、如图4所示，A、B为半径、材料均相同的转动轮，以相同的角速度ω分别绕O1、O2转动，且转动方向相反，O1O2＝2d。一质量分布均匀的木条，其重心偏离AB的中心放在两轮上，设木条与轮之间的动摩擦因数为μ。试证明：木条在两轮的摩擦力作用下的运动是简谐运动，并求其周期。证明：对木条进行受力分析，如图4所示。木条受重力和A、B轮的支持力NA、NB，及摩擦力fA、fB。在竖直方向上处于平衡，有：NA＋NB＝mg。木条还处于转动平衡，以A为转动轴有，mg（d＋x）＝NB·2d木条所受的沿水平方向的合力就是回复力，∑F＝fA－fB＝μ（NA－NB）＝μ（mg－2NA）＝－μmgx／d.设μmgx／d＝k，∑F＝－kx。故为简谐运动。根据简谐运动周期公式T＝2π＝2π。例4、试证明：弹簧振子在竖直方向上的振动也是简谐运动。分析：物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，并且方向总是指向平衡位置。因此想要证明弹簧振子在竖直方向的振动为简谐运动，只需证明它在振动中所受的一切外力的合力满足F＝－kx这一数学关系。证明：用k表示弹簧的劲度系数，m表示振子的质量，x0表示振子在平衡位置时弹簧的伸长量。O为平衡位置。如图5所示.当振子处于平衡位置时，振子受力：kx0＝mg……………（1）若将振子由平衡位置O向下拉一段位移x到达A时，然后松手，振子将在竖直方向上振动起来。其振动范围是以平衡位置O为中心，向上、向下的最大位移都是x。取在平衡位置O下方的任意位置A为例，此时振子所受回复力为F,位移为x’.F＝mg－k（x0＋x＇）……………（2）（1）、（2）得：F＝kx0－k（x0＋x＇）＝－kx＇故：弹簧振子在竖直方向上的振动是简谐运动。用心爱心专心
