人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数1VIP免费

算术平均数与几何平均数教学目标学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；理解定理的几何意义；能够简单应用定理证明不等式.教学重点均值定理证明教学难点等号成立条件教学方法引导式教具准备幻灯片教学过程Ⅰ.复习回顾师：上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.生：（答略）师：由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba证明：222)(2baabba当,0)(,,0)(,22babababa时当时所以，0)(2ba即.2)(22abba由上面的结论，我们又可得到定理：如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当baabba证明：∵,2)()(22abba用心爱心专心abba2即abba2显然，当且仅当abbaba2,时说明：ⅰ）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ⅱ）abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数.ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CBCACD2即abCD这个圆的半径为2ba，显然，它不小于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立.师：在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.题讲解：例1已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值;2P用心爱心专心（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值.412S证明：因为x,y都是正数，所以xyyx2（1）积xy为定值P时，有Pyx2Pyx2上式当yx时，取“=”号，因此，当yx时，和yx有最小值P2.（2）和x+y为定值S时，有241,2SxySxy上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值241S.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在.师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.Ⅲ.课堂练习要求：学生板演，老师讲评.课堂小结师：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.课后作业用心爱心专心