圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1．会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值．2．进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．二、命题落点1．考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2．考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3．考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2004·福建)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．(2-2)a万元B．5a万元C．(2+1)a万元D．(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a·MB+2a·MC 河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD．∴y=a·2MD+2a·MC=2a·(MD+MC)≥2a·CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段). CE=GB+BH=(c-)+BC·cos600=(2-)+2×=.∴y≥5a(万元).答案:B．例2：(2004·北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求120yyy的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(１)当y=时,x=.用心爱心专心116号编辑BAQPCM东北EGHDBAQPCM东北又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为5()828ppp.（2）设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB．由y12=2px1,y02=2px0,相减得:101010()()2()yyyypxx,故101010102()PAyypkxxxxyy.同理可得20202()PBpkxxyy,由PA、PB倾斜角互补知PAPBkk,即102022ppyyyy,所以1202yyy,故1202yyy.设直线AB的斜率为kAB,由2222ypx,2112ypx,相减得212121()()2()yyyypxx,所以211221122()AByypkxxxxyy.将12002(0)yyyy代入得1202ABppkyyy,所以kAB是非零常数.例3：(2004·广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|－|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=－x代入上式,得x=±680, |PB|>|PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680m处.【常见误区】1．圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景,考生在数学建模及解模上用心爱心专心116号编辑xyOCPAABN均不同程度地存在着一定的困难,回到定义去,将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2．圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质,考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1．(2005·重庆)若动点（yx,）在曲线)0(14222bbyx上变化，则yx22的最大值为（）A．)4(2),40(442bbbbB．)2(2),20(442bbbbC．442b...
