苏教版高中数学选修2-1 圆锥曲线定义简单的应用教案VIP免费

圆锥曲线定义简单的应用圆锥曲线方程是高二上册第八章的内容，里面介绍了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线。从定义的角度看，可以分为“第一定义”和“第二定义”。我们可以从不同的角度去运用定义解决一些重要问题。一．定义的运用（一）直接运用定义例1：是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为。若直线相切，求该椭圆的离心率。分析：||=，由椭圆定义知||=又为切线，所以即.例2：设椭圆的焦点坐标，是椭圆上的任一点，求证：，其中是椭圆的离心率。分析：椭圆的焦点，相应的准线方程是，又椭圆的第二定义得，化简得：上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第二定义着手解决了问题，可见两种定义在圆锥曲线中的重要性。（二）交错运用定义例3：为椭圆上的一点，它到右焦点的距离为，求到左准线距离。分析：如图：由第一定义知xyM1F2F0xy1F2F02Fdxy1F0PL再由椭圆的第二定义到左焦点的距离|与到左准线的距离之比为离心率，即，得。例3则通过结合圆锥曲线第一定义和第二定义来解决问题，从上面三个例题可以看出，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。下面看下有关定义的应用问题。二．定义的应用（一）求最值例4：若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则求取得最小值时点P的坐标。分析：等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（垂足为B）时垂线段AB的长度。最小时，P点的中纵坐标为2，从而得P的横坐标为2，即P点的坐标是（2，2）。此题是根据抛物线的定义，运用了数形结合是思想简捷地得出了答案。下面再看在椭圆中该怎么运用定义来求最值问题。例5：已知点A(1,2)在椭圆内，F的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P使最小。解：为椭圆的右焦点，并且离心率为，设P到右准线的距离是，则，，，由几何性质可知，当P点纵坐标（横坐标为大于零）与A点的纵坐标相同时，最小，把代入得（负舍之），即为所求。以上两个例题都体现了运用曲线的定义来求最值的问题，这种类型在最近的高考中有一定的体现，例如在今年的福建高考卷中的就出现了此种问题（理择题12题），下面就具体分析下。例6：如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．(27－2)a万元B．5a万元PAFOBxyPFA0y0D1D1MC．(27+1)a万元D．(23+3)a万元分析：以AB的中垂线为y轴，AB为x轴，如图所示，则曲线PQ就是双曲线上的一部分由定义知，所以总的费用为，要使费用最小，只要使最小，当M位于的时候最小，容易求得最小值为，故此题选B。对于福建试卷文科的试卷中（选择题第12题，与理的区别是：费用分别是a万元/km、a万元/km）。则只要简单运用下双曲线是定义即可解决问题。例7：椭圆的焦点为。点P为其上的动点，当为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？（2000年全国高考试题）分析：方法一，由余弦定理：由椭圆的定义得，>8，由椭圆的第二定义得，方法二先考虑时，=20，又由椭圆定义。上题则讨论了椭圆中的一个角的最值问题，也是通过了椭圆的定义来解决。以上两类的最值问题在圆锥曲线中比较常见，也是我们学习的重点。（二）探求轨迹例8：已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线点焦点和准线分别重合，求椭圆短轴端点的轨迹方程。解：由抛物线知，其顶点为（2，0），焦点为（0，0），准线为（如图）设椭圆短轴端点为B（x,y），由第二定义知：，即化简得，当时为的一部分；当时，轨迹为椭圆xyP1F1FxyBON的一部分。例9：一动圆与两圆：都外切，则动圆的圆心的轨迹方程是什么？（2000全国高考试题）分析：结合图形，知与两圆相外切的圆的圆心M到两定点的距离之差恰为一个定值：即有，根据双曲线的定义可知动圆的圆心的轨迹方程应是双曲线的一支。以上两个例题可以看到：对于有些轨迹问题可以直接利用定义。问题便会迎刃而解，如果我们用常规的方法，则难度加大。椭圆...