1.1.2余弦定理1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为()．A.B.C.D.解析∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝＝＝.∴C＝.答案B2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()．A．1B.C．2D．4解析bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.答案C3．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()．A.B.C.D.或解析由于b2＋c2－a2＝－bc＝2bc·cosA∴cosA＝－，又A∈(0，π)，∴A＝.答案C4．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝π，则a＝.解析∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴()2＝a2＋12－2a·1·cosπ，∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝－2(舍去)或a＝1.答案15．在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状是.解析∵sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2⇒△ABC为直角三角形．答案直角三角形6．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，又∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.(3)S△ABC＝absinC＝×2×sin＝.7．在△ABC中，下列结论：①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3，其中正确的个数为()．A．1B．2C．3D．4解析①cosA＝<0，∴∠A为钝角，正确；②cosA＝＝－，∴∠A＝120°，错误；③cosC＝>0，∠C为锐角，但∠A或∠B不一定为锐角，错误；④∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误，故选A.答案A8．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()．A．135°B．45°C．60°D．120°解析∵S＝(a2＋b2－c2)＝absinC∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°答案B9．已知△ABC三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为.解析由余弦定理可求得cosB＝，∴AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＝－|AB|·|BC|·cosB＝－19.答案－1910．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.解析∵cosC＝＝，∴sinC＝.∴AD＝AC·sinC＝.答案11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB＝，且AB·BC＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.解(1)∵AB·BC＝－21，∴BA·BC＝21.∴BA·BC＝|BA|·|BC|·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝，∴sinB＝.∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4.∴cosC＝＝＝，又∵C∈(0，π)∴C＝45°.12．(创新拓展)△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝.(1)求＋的值；(2)设BA·BC＝，求a＋c的值．解(1)由cosB＝得sinB＝＝，由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.于是＋＝＋＝＝＝＝＝.(2)由BA·BC＝得ca·cosB＝，由cosB＝，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
